Guía docente de Geometría, Topología y Física (M37/56/2/7)

Curso 2022/2023
Fecha de aprobación por la Comisión Académica 12/07/2022

Máster

Máster Universitario en Matemáticas

Módulo

Módulo Iia. Técnicas Avanzadas

Rama

Ciencias

Centro Responsable del título

International School for Postgraduate Studies

Semestre

Segundo

Créditos

8

Tipo

Optativa

Tipo de enseñanza

Presencial

Profesorado

  • Alfonso Romero Sarabia
  • Miguel Sánchez Caja
  • Antonio Viruel Arbaizar

Tutorías

Alfonso Romero Sarabia

Email
Anual
  • Lunes 17:00 a 20:00 (Despacho)
  • Miercoles 17:00 a 20:00 (Despacho)
  • Miércoles 17:00 a 20:00 (Despacho)

Miguel Sánchez Caja

Email
Anual
  • Lunes 17:00 a 20:00 (Despacho)
  • Martes 14:00 a 15:00 (Despacho)
  • Miercoles 13:00 a 15:00 (Despacho)
  • Miércoles 13:00 a 15:00 (Despacho)

Antonio Viruel Arbaizar

Email

Breve descripción de contenidos (Según memoria de verificación del Máster)

  1. Métodos Geométricos en Física Matemática avanzada.
  2. Invariantes geométricos, homotópicos y homológicos. Aplicaciones.

Prerrequisitos y/o Recomendaciones

Competencias

Competencias Básicas

  • CB6. Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
  • CB7. Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
  • CB8. Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
  • CB9. Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
  • CB10. Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

Resultados de aprendizaje (Objetivos)

OBJETIVOS O RESULTADOS DE APRENDIZAJE (SEGÚN LA MEMORIA DE VERIFICACIÓN DEL TÍTULO)

  1. El alumno será capaz de reconocer las aplicaciones de la Geometría y la Topología Diferencial a problemas teóricos de la Física.
  2. El alumno sabrá reconocer conceptos geométricos y herramientas que permiten entender y explicar Teorías en Física Moderna.
  3. El alumno será capaz de aplicar invariantes homológicos y homotópicos al estudio de la Geometría Diferencial.

Programa de contenidos Teóricos y Prácticos

Teórico

TEMARIO TEÓRICO-PRÁCTICO:

 

Parte I. Geometría y Topología:

1. Grupos de Homotopía. Fibrados y Fibraciones.

2. CW-complejos. Aproximación celular. Teorema de Whitehead.

3. Homología y cohomología. Cofibraciones. Dualidad de Poincaré

 

Parte II. Geometría y Física:

1. Curvatura media de hipersuperficies espaciales en el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski. El teorema de Calabi-Berenstein

2. Espaciotiempos de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker generalizados y sus hipersuperficies espaciales.

3. Espaciotiempos globalmente hiperbólicos. Variación de la longitud para geodésicas coespaciales. Teorema de Hawking.

Práctico

Cada parte del temario conlleva un contenido práctico de ejemplos y aplicaciones.

Bibliografía

Bibliografía fundamental

Parte 1:

  • A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1 al V, Publish or Perish; 3rd edition (1999), Spivak, M.
  • Algebraic Topology, http://www.math.cornell.edu/~hatcher/#ATI , 2002.; Hatcher, A.
  • Algebraic Topology, McGraw-Hill, 1966.; Spanier, E.H.
  • Algebraic topology-homotopy and homology, Springer-Verlag, 1975, Switzer R.M.
  • Characteristic Classes, Princeton University Press, 1974.; Milnor, J.W. and Stasheff, J.D.
  • Fiber Bundles, Springer, 1994.; Husemoller, D.
  • Foundation of differentiable manifolds and Lie groups, Springer, 1983.; Warner, F.
  • Introduction to Symplectic Topology, Oxford Science Publications, Oxford (1997).; McDuff, D. y Salamon, D.
  • Lectures on Symplectic Geometry (2001), http://www.math.ist.utl.pt/~acannas/Books/lsg.pdf , Cannas da Silva, A.3

 

Parte 2:

  • A. Aledo, A. Romero and R.M. Rubio, The classical Calabi–Bernstein theorem revisited, J. Math. Anal. Appl., 431 (2015), 1172-1177.
  • L.J. Alías, A. Romero and M. Sánchez, Uniqueness of complete spacelike hypersurfaces of constant mean curvature in Generalized Robertson-Walker spacetimes, Gen. Relativ. Gravit., 27 (1995), 71-84 .
  • J.K. Beem, P.E. Ehrlich and K.L. Easley: Global Lorentzian Geometry. Second Edition, Pure and Appl. Math. 202, Marcel Dekker, 1996.
  • M. Caballero, A. Romero and R.M. Rubio, New Calabi-Bernstein results for some elliptic nonlinear equations, Analysis and Applications 11, 1350002, 18 pp. (2013).
  • S.Y. Cheng, S.T. Yau, Maximal spacelike hypersurfaces in the Lorentz-Minkowski space, Ann. Math., 104, 407-419 (1976).
  • M.A. Javaloyes, M. Sánchez: An Introduction to Lorentzian Geometry and its Applications. Sao Carlos: Rima 2010, ISBN: 978-85-7656-180-4.
  • E. Minguzzi, M. Sánchez: The causal hierarchy of spacetimes. Recent developments in pseudo-Riemannian geometry. ESI Lect. Math. Phys., (Eur. Math. Soc. Publ. House, Zurich, 2008), H. Baum and D. Alekseevsky (eds.) p. 299 -358, ISBN=978-3-03719-051-7, arxiv: 0609119.
  • B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry with applications to Relativity, Academic Press, 1983.
  • M. Sánchez, On the geometry of Generalized Robertson-Walker spacetimes: geodesics, Gen. Rel. Grav., 30, 914-932 (1998).
  • M Sánchez, On the geometry of Generalized Robertson-Walker spacetimes: curvature and Killing fields, J. Geom. Phys., 31 (1999), 1-15.

Bibliografía complementaria

  • A.N. Bernal, M. Sánchez: Un paseo por las geometrías del espaciotiempo en el centenario de la Relatividad General, La Gaceta de la RSME Vol. 18 (2015), Núm. 3, Págs. 521–542.

Metodología docente

Evaluación (instrumentos de evaluación, criterios de evaluación y porcentaje sobre la calificación final.)

Evaluación Ordinaria

El sistema de evaluación será único, de forma que todos los alumnos deberán seguir el mismo sistema, a excepción de los casos descritos más abajo.

Los procedimientos para la evaluación se centran en tareas enviadas y trabajos propuestos por cada profesor, que el estudiante deberá resolver y entregar conforme a la siguiente valoración:

 - Análisis de las tareas y trabajos: 80%.

 - Asistencia y participación activa en las clases y otras actividades propuestas: 20%.

Las pruebas de evaluación se adecuarán a la normativa sobre la materia específica de la universidad donde el alumno se encuentra matriculado y se tendrá en cuenta en lo relativo a procedimiento y plazos.

El régimen de asistencia incluye que cada estudiante asista presencialmente a las sesiones de clase impartidas en su universidad de matrícula y online a las impartidas en otras universidades. Los estudiantes que no puedan seguir el régimen de asistencia indicado no tendrán acceso a la evaluación continua y deberán solicitar Evaluación Final Única.

Evaluación Extraordinaria

Tal y como establece la normativa al respecto, los estudiantes que no hayan superado la asignatura en la convocatoria ordinaria dispondrán de una convocatoria extraordinaria. A ella podrán concurrir todos los estudiantes, con independencia de haber seguido o no un proceso de evaluación continua. La calificación de los estudiantes en la convocatoria extraordinaria se ajustará a las reglas establecidas en la Guía Docente de la asignatura. De esta forma, el estudiante que no haya realizado la evaluación continua tendrá la posibilidad de obtener el 100% de la calificación mediante la realización de un examen de las mismas características que el recogido en el caso de estudiantes de Evaluación Única Final.

Evaluación única final

Atendiendo a la normativa vigente sobre evaluación y calificación de los estudiantes en cada universidad, el estudiante que no pueda cumplir con el método de evaluación continua por motivos laborales, estado de salud, discapacidad o cualquier otra causa debidamente justificada que les impida seguir el régimen de evaluación continua, podrá acogerse a una evaluación única final. Para acogerse a la evaluación única final, el estudiante, en las dos primeras semanas de impartición de la asignatura, lo solicitará a la Coordinación del Máster, quien dará traslado al profesorado correspondiente, alegando y acreditando las razones que le asisten para no poder seguir el sistema de evaluación continua. Por ello en las convocatorias oficiales se desarrollará un examen que se dividirá en los siguientes apartados:

• Prueba evaluativa escrita, del mismo temario teórico que el resto de sus compañeros.

• Prueba evaluativa escrita del temario práctico (ejercicios, resolución de problemas), de características similares a las realizadas por sus compañeros.

Información adicional

Aunque se hará uso de la teledocencia para todas las actividades programadas en el aula, salvo situaciones justificadas, los estudiantes deben seguir de forma presencial las sesiones que tengan lugar en su universidad.