Guía docente de Ecuaciones en Derivadas Parciales Dispersivas No Lineales (M53/56/4/14)

Curso 2022/2023
Fecha de aprobación por la Comisión Académica 16/07/2022

Máster

Máster Universitario en Física y Matemáticas - Fisymat

Módulo

Módulo III: Métodos y Modelos Matemáticos en Ciencia e Ingeniería

Rama

Ciencias

Centro Responsable del título

International School for Postgraduate Studies

Semestre

Segundo

Créditos

6

Tipo

Optativa

Tipo de enseñanza

Presencial

Profesorado

  • José Luis López Fernández
  • David Ruiz Aguilar

Tutorías

José Luis López Fernández

Email
Anual
  • Martes 10:00 a 12:00
  • Martes 13:00 a 15:00
  • Miercoles 11:00 a 12:00
  • Miercoles 13:00 a 14:00
  • Miércoles 11:00 a 12:00
  • Miércoles 13:00 a 14:00

David Ruiz Aguilar

Email
  • Tutorías 1º semestre
    • Lunes 11:00 a 13:00 (Facultad de Ciencias)
    • Lunes 12:00 a 14:00 (Facultad de Ciencias)
    • Martes 11:00 a 13:00 (Facultad de Ciencias)
    • Miércoles 11:00 a 13:00 (Facultad de Ciencias)
    • Viernes 9:00 a 13:00 (Facultad de Ciencias)
  • Tutorías 2º semestre
    • Lunes 12:00 a 14:00 (Facultad de Ciencias)
    • Miercoles 12:00 a 14:00 (Facultad de Ciencias)
    • Miércoles 12:00 a 14:00 (Facultad de Ciencias)
    • Jueves 12:00 a 14:00 (Facultad de Ciencias)

Breve descripción de contenidos (Según memoria de verificación del Máster)

- Motivación y preliminares

- Ecuación de Schrodinger como modelo prototípico de las ecuaciones dispersivas

- Términos no lineales: tipos Poisson y potencia. Existencia local, global y blow-up

- Conexión con la Mecánica Clásica

Prerrequisitos y/o Recomendaciones

Competencias

Competencias Básicas

  • CB6. Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
  • CB7. Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
  • CB8. Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
  • CB9. Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
  • CB10. Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

Resultados de aprendizaje (Objetivos)

El alumno sabrá/comprenderá:

 

-Reconocer las ecuaciones dispersivas y los métodos usuales para su estudio.

-Identificar las condiciones de existencia global de soluciones o blow-up.

 

El alumno será capaz de:

 

-Familiarizarse con las técnicas del análisis armónico y los límites asintóticos para EDPs (ecuaciones en derivadas parciales).

-Relacionar la teoría general de semigrupos con las ecuaciones de evolución.

- Conocer la alternativa de existencia de solución global o blow-up para ecuaciones evolutivas no lineales.

Programa de contenidos Teóricos y Prácticos

Teórico

  1. Motivación y preliminares
    • Preliminares: teoría de distribuciones y transformada de Fourier. Separación de variables para la ecuación de Schrödinger.
    • La ecuación de Schrödinger como prototipo de ecuación dispersiva. Motivación desde la mecánica cuántica y desde la óptica. Soluciones estacionarias.

 

  1. Ecuación de Schrödinger libre dependiente del tiempo
  • Leyes de conservación
  • Estimas de dispersion
  • Estimas de Strichartz
  1. Términos no lineales I

-  Semigrupos de evolución. Teorema de Pazy

  -  No-linealidades de tipo Poisson. Existencia local de soluciones

 

  1. Términos no lineales II

 - No-linealidades de tipo potencia. Existencia local de soluciones

 - Existencia global y blow-up. Identidades del virial.

Bibliografía

Bibliografía fundamental

  1.  F. Castella, "L^2-solutions to the Schrödinger-Poisson system: existence, uniqueness, time behavior and smoothing effects", Math. Models Meth. Appl. Sci. 7, 1051-1083, 1997.

 

  1. T. Cazenave, "An introduction to nonlinear Schrödinger equations". Textos de Métodos Matemáticos 26, Universidade Federal do Rio de Janeiro (2ª ed.), 1993.

 

  1. J. Duoandikoetxea, "Fourier analysis", Graduate Studies in Mathematics, vol. 29 (AMS), 2001

 

  1. F. Linares y G. Ponce, "Introduction to nonlinear dispersive equations", Springer 2009.

 

      5. A. Pazy, "Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations", Springer-Verlag, Nueva York, 1983.

Enlaces recomendados

Metodología docente

Evaluación (instrumentos de evaluación, criterios de evaluación y porcentaje sobre la calificación final.)

Evaluación Ordinaria

La evaluación en convocatoria ordinaria se realizará mediante los siguientes criterios:

 

1.       Valoración de las pruebas, ejercicios, prácticas o problemas realizados individualmente o en grupo a lo largo del curso. (20-40%).

2.       Prueba oral de evaluación, en la que se defenderán los ejercicios entregados y se responderán a distintas cuestiones sobre el curso.  (50/90%).

3.       Valoración de la asistencia y participación del alumno en clase y en los seminarios, y sus aportaciones en las actividades desarrolladas (10/30%).

Evaluación Extraordinaria

Consistirá en una prueba-examen específica para la modalidad de evaluación única en la fecha establecida oficialmente para ello. La puntuación obtenida aportará el 100% de la calificación total

Evaluación única final

Aquellos estudiantes que siguiendo la Normativa de la UGR en los términos y plazos que en ella se exigen, se acojan a esta modalidad de evaluación, realizarán un solo acto académico con diversas cuestiones teórico-prácticas que garanticen que el alumno ha adquirido la totalidad de las competencias descritas en esta guía docente. La puntuación obtenida en ella representará el 100 % de la calificación final.

Información adicional