Guía docente de Fundamentos Geométricos de la Relatividad General y Gravitación (M53/56/2/23)

Curso 2022/2023
Fecha de aprobación por la Comisión Académica 16/07/2022

Máster

Máster Universitario en Física y Matemáticas - Fisymat

Módulo

Módulo IV : Física Teórica y Matemática

Rama

Ciencias

Centro Responsable del título

International School for Postgraduate Studies

Semestre

Segundo

Créditos

6

Tipo

Optativa

Tipo de enseñanza

Presencial

Profesorado

  • Bert Janssen
  • Alfonso Romero Sarabia
  • Miguel Sánchez Caja

Tutorías

Bert Janssen

Email
Anual
  • Lunes 10:00 a 12:00 (Despacho 21)
  • Martes 10:00 a 12:00 (Despacho 21)
  • Viernes 11:00 a 13:00 (Despacho 21)

Alfonso Romero Sarabia

Email
Anual
  • Lunes 17:00 a 20:00 (Despacho)
  • Miercoles 17:00 a 20:00 (Despacho)
  • Miércoles 17:00 a 20:00 (Despacho)

Miguel Sánchez Caja

Email
Anual
  • Lunes 17:00 a 20:00 (Despacho)
  • Martes 14:00 a 15:00 (Despacho)
  • Miércoles 13:00 a 15:00 (Despacho)
  • Miercoles 13:00 a 15:00 (Despacho)

Breve descripción de contenidos (Según memoria de verificación del Máster)

Con este curso se proporciona un contenido básico sobre aspectos matemáticos relevantes de los espacio-tiempos de la Relatividad General (R.G.) Desde que Einstein extendió en 1915 el espacio-tiempo de Lorentz-Minkowski a una variedad de Lorentz curvada para modelar campos gravitatorios, la Geometría de Lorentz, en su aspecto local, ha sido la herramienta fundamental en esta rama de la Física. En la década de los setenta, a partir de los trabajos de Hawking, Penrose, Geroch y otros sobre la estructura global del universo (“big bang”, colapso gravitatorio, propiedades de los agujeros negros etc.) la necesidad de desarrollar nuevas técnicas geométricas para el estudio de los modelos cosmológicos pasó a un primer plano. Esto ha constituido un gran aliciente para el espectacular desarrollo contemporáneo de la Geometría de Lorentz global.

El curso se dirige a alumnos procedentes de Física y Matemáticas con el objetivo de que adquieran conocimientos en R.G. desde ambos puntos de vista. Así, el matemático no sólo aprenderá herramientas y problemas geométricos de candente interés, sino que deberá asimilar el punto de vista y motivaciones de los físicos relativistas. Los físicos deberán estudiar la formulación matemáticamente rigurosa de la R.G., la cual resulta imprescindible para un conocimiento claro, profundo y puesto al día de esta teoría.

Prerrequisitos y/o Recomendaciones

Competencias

Competencias Básicas

  • CB6. Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
  • CB7. Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
  • CB8. Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
  • CB9. Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
  • CB10. Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

Resultados de aprendizaje (Objetivos)

El alumno comprenderá:

-Formulación matemáticamente precisa de resultados y nociones físicas de la Relatividad.

-Propiedades invariantes conformes de la Geometría de Lorentz, con sus aplicaciones a la Causalidad de espaciotiempos.

-Nociones y resultados de singularidades empezando incluyendo la ecuación de Raychaudhuri y algunos resultados clásicos tanto en el contexto cosmológico global (Big-Bang, teorema de Hawking) como en el de colapso gravitatorio (agujeros negros, teorema de Penrose).

-Formulación precisa del problema de valores iniciales en Relatividad General.

-Soluciones más emblemáticas de las ecuaciones de Einstein

 

El alumno será capaz de:

-Dominar el formalismo de espinores.

-Extender las técnicas de la Geometría Riemanniana clásica a la Geometría de Lorentz, entendiendo con precisión las diferencias y similitudes entre ambas Geometrías.

-Dominar la física descrita por las ecuaciones de Einstein.

-Entender la importancia de simetrías en sistemas físicas

-Relacionar e interpretar la formulación matemática de propiedades físicas

Programa de contenidos Teóricos y Prácticos

Teórico

TEMARIO TEÓRICO-PRÁCTICO

Parte I. Fundamentos de Geometría de Lorentz y Relatividad General

I.1 Algebra Lineal lorentziana y aplicaciones a Relatividad Especial.

I.2 Grupo de Lorentz y aplicación espinorial

I.3 Geometría Riemanniana frente a Lorentziana

I.4 Geometría Lorentziana conforme global y Teoría de la Causalidad.

I.5 Campos de observadores

I.6 Ecuación de Raychaudhuri y singularidades

I.7 Ecuación de Einstein

 

Parte II. Relatividad General Avanzada y Gravitación

II.1 Algebra de Lorentz y de Poincaré y sus representaciones

II.2 Física de las ecuaciones de Einstein: condiciones de energía, cantidades conservadasII.3 Estructura causal y diagramas de Penrose

II.4 Agujeros negros: soluciones, teoremas de unicidad, aspectos cuánticos de la gravedad

II.5 Aproximación del campo débil, ondas gravitacionales

II.6 Formalismo del Vielbein


 

Práctico

Cada parte contiene unos contenidos prácticos en los que se desarrollan ejemplos y aplicaciones.

Bibliografía

Bibliografía fundamental

J.K. Beem, P.E. Ehrlich and K.L. Easley: Global Lorentzian Geometry. Second Edition, Pure and Appl. Math. 202, Marcel Dekker, 1996.

S. Carroll, Spacetime and Geometry, Addison-Wesley, 2004.

S.W. Hawking and G.F.R. Ellis: The Large Scale Structure of Spacetime. Cambridge Univ. Press, 1973.

S. Hawking and R. Penrose: The Nature of Space and Time. Princeton University Press, 1996.

M.A. Javaloyes, M. Sánchez: An Introduction to Lorentzian Geometry and its Applications. Sao Carlos: Rima 2010, ISBN: 978-85-7656-180-4.

T. Ortín, Gravity and Strings, Cambridge University Press, 2004.

F.J. Palomo y A. Romero: Certain actual topics on modern Lorentzian geometry en : Handbook of Differential Geometry (Edit. F. Dillen y L. Verstraelen para Elsevier), Vol. 2 (2006) 513-546. 

E. Poisson: A relativist's Toolkit. Cambridge University Press, 2007.

A. Romero, Geometría de Lorentz: de lenguaje a herramienta básica en Relatividad General, Facultat de Matematiques i Estadística, UPC, Conferencies FME, Curs Einstein 2004-2005, Vol. 2 (2006), 127-151.

R.K. Sachs and H.Wu: General Relativity for Mathematicians. Graduate texts in Math., 48, Springer-Verlag, 1977.

R.K. Sachs and H.Wu: General Relativity and Cosmology. Bull. Amer. Math. Soc., 83 (1997), 1101-1164.

B. Thide: Electromagnetic Field Theory. Upsilon books, 2004.

R.M. Wald: General Relativity. University of Chicago Press, Chicago, 1984

Bibliografía complementaria

A.N. Bernal, M. Sánchez: Un paseo por las geometrías del espaciotiempo en el centenario de la Relatividad General, La Gaceta de la RSME Vol. 18 (2015), Núm. 3, Págs. 521–542.

Metodología docente

Evaluación (instrumentos de evaluación, criterios de evaluación y porcentaje sobre la calificación final.)

Evaluación Ordinaria

(E1) Valoración de las pruebas, ejercicios, prácticas o problemas realizados individualmente o en grupo a lo largo del curso (90%). La evaluación de la actividad entregada se podrá complementar oralmente, según criterio del profesor.

(E4) Valoración de la asistencia y participación del alumno en clase y en los seminarios, y sus aportaciones en las actividades desarrolladas (10%).

Evaluación Extraordinaria

  • Parte I: Entrega de problemas
  • Parte II: Trabajo de investigación
  • Parte III: Entrega de problemas

La evaluación de la actividad entregada se podrá complementar con una sesión oral sobre ella.

Evaluación única final

Sesión oral en la que se defenderán tareas de cada una de las tres partes previamente entregadas.

Información adicional