Guía docente de Topología Algebraica y Aplicaciones (M53/56/2/20)

Curso 2022/2023
Fecha de aprobación por la Comisión Académica 16/07/2022

Máster

Máster Universitario en Física y Matemáticas - Fisymat

Módulo

Módulo III: Métodos y Modelos Matemáticos en Ciencias e Ingeniería

Rama

Ciencias

Centro Responsable del título

International School for Postgraduate Studies

Semestre

Segundo

Créditos

6

Tipo

Optativa

Tipo de enseñanza

Presencial

Profesorado

  • Antonio Martínez Cegarra

Tutorías

Antonio Martínez Cegarra

Email
  • Primer semestre
    • Lunes 11:00 a 13:00 (Fc. Ciencias - Desp.29)
    • Martes 11:00 a 13:00 (Fc. Ciencias - Desp.29)
    • Jueves 11:00 a 13:00 (Fc. Ciencias - Desp.29)
  • Segundo semestre
    • Lunes 11:00 a 13:00 (Fc. Ciencias - Desp.29)
    • Martes 11:00 a 13:00 (Fc. Ciencias - Desp.29)
    • Jueves 11:00 a 13:00 (Fc. Ciencias - Desp.29)

Breve descripción de contenidos (Según memoria de verificación del Máster)

Se introducirá a los alumnos en las herramientas fundamentales de la topología algebraica, haciendo principal énfasis en las teorías de homología de espacios topológicos y sus aplicaciones. El curso comenzará con un capítulo introductorio donde se describirán los instrumentos básicos a utilizar: El lenguaje de categorías, la estructura de los grupos abelianos, etc. En los capítulos siguientes se desarrollan las teorías de homología singular y simplicial, y se estudiarán sus aplicaciones más clásicas. Finamente, el último capítulo es dedicado a los espacios obtenidos por adjunción de celdas y a la homología celular.

Prerrequisitos y/o Recomendaciones

Conocimientos básicos de  Álgebra y Topología General.

Competencias

Competencias Básicas

  • CB6. Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
  • CB7. Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
  • CB8. Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
  • CB9. Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
  • CB10. Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

Resultados de aprendizaje (Objetivos)

Generales: Estudio de los espacios topológicos con herramientas algebraicas.

Trasversales: Conexión entre Álgebra,Topología, Geometría y Física..

Específicas: Construcción de espacios interesantes desde subespacios familiares de los espacios Euclídeos. Clasificación de espacios por invariantes algebraicos. Cálculo de grupos de homología de espacios. Algoritmos.

Programa de contenidos Teóricos y Prácticos

Teórico

0.- Introducción: Nociones básicas.

0.1 Algunas notaciones básicas sobre espacios.

0.2 Un problema motivador: El teorema del punto fijo de Brauer.

0.3 El lenguaje de las categorías y funtores.

0.4 La categoría de homotopía de espacios.

0.5  Algunas nociones básicas sobre grupos abelianos.

1.- Complejos de cadenas: Homología.

1.1 La categoría de complejos de cadenas.

1.2 Subcomplejos.

1.3 Homología de complejos.

1.4 Homología relativa.

1.5 Sucesiones exactas de homología.

2.- Homología singular.

2.1 Símplices.

2.2 Complejo singular y Homología singular de un espacio.

2.3 Homología singular reducida.

2.4 Invarianza homotópica.

2.5. Homología singular relativa y sucesiones exactas en homología singular.

2.6 Homología y componentes conexas.

2.7 Escisión..

2.8 Homología de buenos pares y cocientes.

2.9 Teorema de Hurewitz.

3. Homología de esferas: Aplicaciones clásicas.

3.1 Los grupos de homología de una esfera.

3.2 Invarianza de dimensión.

3.3 Teoría del Grado.

3.4 El teorema de punto fijo.

3.5 El teorema de la bola peluda.

3.6 El Teorema Fundamental del álgebra.

4.- Homología simplicial.

4.1 Δ-espacios.

4.2 Homología simplicial.de Δ-espacios.

4.3 Equivalencia entre homología simplicial y singular para Δ-espacios.

5. Cálculo de homología de espacios.

5.1 Estructura de grupos abelianos finitamente generados: coeficientes de torsión y número de Betti.

5.2 Algoritmo de cálculo de coeficientes de torsión y números de Betti de grupos de homología.

5.3 Ejemplos de cálculo de grupos de homología de espacios.

6.- CW-complejos.

6.1 Adjunción de celdas.

6.2 Adjunción de celdas y homología.

6.3 CW-complejos.

6.4 Homología celular.

Bibliografía

Bibliografía fundamental

- Rotman, Joseph. An introduction to algebraic topology. Vol. 119. Springer Science & Business Media, 2013.

- Hatcher, Allen. Algebraic topology. https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf - Massey, William S. A basic course in algebraic topology. Vol. 127. Springer Science & Business Media, 1991.

- Minian, Elıas Gabriel. "Notas de Topologıa Algebraica." Curso dictado en Elena II, Vaquerıas. Universidad Nacional de Córdoba, Fa. MAF (2004).

Bibliografía complementaria

https://pradoposgrado2021.ugr.es/pluginfile.php/148151/mod_resource/content/1/Macho.pdf

https://pradoposgrado2021.ugr.es/pluginfile.php/148176/mod_resource/content/1/sobre%20grupos%20abelianos%20y%20calculo%20de%20homologia.pdf

Enlaces recomendados

http://www.ugr.es/~acegarra

https://prado.ugr.es

http://www.ugr.es/~fisymat

http://geometry.ugr.es

Metodología docente

Evaluación (instrumentos de evaluación, criterios de evaluación y porcentaje sobre la calificación final.)

Evaluación Ordinaria

La evaluación será continua, basada en:

- Realización de informes, trabajos y memorias de forma individual, lo que pesará un 80% en la calificación final.

- La participación y seguimiento, que aportará un peso del 20% sobre la calificación final.

 

Evaluación Extraordinaria

La evaluación extraordinaria será continua, basada en:

- Realización de informes, trabajos y memorias de forma individual, lo que pesará un 80% en la calificación final.

- La participación y seguimiento, que aportará un peso del 20% sobre la calificación final.

Evaluación única final

La evaluación única se basará al 100% en la realización de informes, trabajos y memorias realizados de forma individual.

Información adicional