Guía docente de Álgebra Avanzada (S11/56/2/16)

I. Anillos y Álgebras.
II. Categorías de módulos. Métodos homológicos.

Los propios de acceso del Máster.

Conocer y entender con claridad los aspectos más relevantes de la teoría de categorías. Entender la importancia de los módulos proyectivos, inyectivos y planos. Comprender algunas construcciones de anillos de cocientes. Aprender las nociones básicas de álgebra homológica.

1.- Introducción a la teoría de categorías.

Categorías y funtores. Transformaciones naturales. Equivalencias naturales. Categorías preaditivas. Equivalencias de categorías. Funtores exactos. Funtores adjuntos.
Núcleos y conúcleos. Productos y coproductos. Categorías abelianas.
Pullbacks y pushouts. Generadores y cogeneradores. Límites y colímites. Categorías de Grothendieck.

2.- Objetos especiales en la categoría R-Mod

Exactitud de los funtores Hom Módulos proyectivos
Módulos inyectivos
Exactitud del producto tensorial Teoremas del isomorfismo adjunto Módulos planos.

3.- Teoría de Anillos.

Anillos noetherianos
Anillos artinianos
Anillos de cocientes clásicos.
Anillos de cocientes de Utumi, de Martindale y de Ore.

4.- Álgebra Homológica.

Historia. Homología singular. (Co)cadenas de complejos de módulos y (co)homología. Lema del Ker-coker. La sucesión exacta larga.
Homotopía. La categoría de homotopía.
Resoluciones proyectivas e inyectivas. Funtores derivados. Casos covariante y contravariante. Sucesiones exactas largas naturales.

Los bifuntores Ext y Tor. Propiedades. Las sucesiones exactas largas asociadas. Primer funtor Ext y extensiones, la suma de Baer. Primer funtor Tor y torsión.

Se realizaran ejercicios prácticos de cada tema, introduciendo ejemplos de las construcciones dadas.

• B. Mitchel. Theory of categories. Academic Press. 1965.
• B. Stenström. Rings of quotients. Springer-Verlag. 1975.
• Bo Stenström. Rings of quotients. Springer-Verlag. 1975.
• C. A. Weibel. An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38, Cambridge University Press. 1997. F.W. Anderson y K.R. Fuller. Rings and categories of mdoules. Springer-Verlag.
• Joseph J. Rotman. An introduction to homological algebra. Springer. 2009.
• Joseph J. Rotman. Advanced modern algebra. American Mathematical Society. Segunda. 2010. P.J. Hilton, U. Stammbach. A course in homological algebra. Springer-Verlag. 1971.
• T. Y. Lam. A first course in noncommutative rings. Springer.
• T. Y. Lam. Lectures on modules and rings. Springer. 1999.

• Benson Farb, R. Keith Dennis. Noncommutative Algebra. Springer-Verlag. 

• M. Artin. Algebra. Prentice-Hall Inc.. 1991.

Se seguirá un sistema de evaluación continua según la siguiente distribución:
Análisis del contenido de los trabajos individuales y grupales realizados en las clases prácticas y seminarios (20%) Problemas y prácticas (20%)
Trabajo final de la asignatura (60%)

Tal y como establece la normativa al respecto, los estudiantes que no hayan superado la asignatura en la convocatoria ordinaria dispondrán de una convocatoria extraordinaria. A ella podrán concurrir todos los estudiantes, con independencia de haber seguido o no un proceso de evaluación continua. De esta forma, el estudiante que no haya realizado la evaluación continua tendrá la posibilidad de obtener el 100% de la calificación mediante la realización de una prueba y/o trabajo.

Si no fuese posible la evaluación presencial, se hará remotamente utilizando un sistema de videoconferencia.
Las calificaciones se notificarán a través de las actas preliminares o mediante la plataforma de docencia. La revisión se realizará a través de correo electrónico, teléfono o vídeo conferencia a petición del alumnado.
La solicitud de esta modalidad dependerá de la sede en la que esté matriculado el alumno.
Atendiendo a la normativa vigente sobre evaluación y calificación de los estudiantes de las Universidades participantes en el Máster, el estudiante que no pueda cumplir con el método de evaluación continua por motivos laborales, estado de salud, discapacidad o cualquier otra causa debidamente justificada que les impida seguir el régimen de evaluación continua, podrá acogerse a una evaluación única final. Para acogerse a la evaluación única final, el estudiante en las dos primeras semanas de impartición de la asignatura, lo solicitará a la Coordinadora del Máster, alegando y acreditando las razones que le asisten para no poder seguir el sistema de evalluación continua. Por ello en las convocatorias oficiales se desarrollará un examen que se dividirá en los siguientes apartados :
- Prueba evaluativa escrita, del mismo temario teórico que el resto de sus compañeros.
- Prueba evaluativa escrita del temario práctico.

Aunque se hará uso de la teledocencia para todas las actividades programadas en el aula, salvo situaciones justificadas, los estudiantes deben seguir de forma presencial las sesiones que tengan lugar en su universidad.